Examen del Tema 2. Números reales

Ya sabéis: a darle un repaso cuanto antes, sobre todo a lo que no os haya salido:

Examen

Solución

Material del Tema 3. Potencias y raíces

Empezaremos repasando cosas de 1º pero van a llegar novedades que, aunque son sencillas, os van a liar un poco (¡concentración!). Seguiremos este esquema:

1) Definición y propiedades de las potencias.

2) Potencias de números negativos.

3) Exponentes negativos.

4) Notación científica.

5) Raíces.

6) Operaciones combinadas.

7) Problemas.

Y usaremos el siguiente material:

Hoja de ejercicios

Ejemplo del controlillo de operaciones

Solución al controlillo de operaciones

Ejemplo de examen 

Preparando el examen del Tema 2. Números reales

Os enlazo los dos exámenes que hicimos hace un par de años:. Los dos son similares (hay preguntas repetidas): cambian un poco más los ejercicios 6, 8 y 10. Os recomiendo que los hagáis y os los corrijáis mirando la solución.

Examen_BG	Solución
Examen_DE	Solución

Para aquellos a los que os encanta escuchar mi "maravillosa" voz, van tres más antiguos con solución en vídeo (pasad de los ejercicios del error que este año todavía no hemos dado: lo haremos con la práctica de la mandarina):

Examen 1	Solución
Examen 2	Solución
Examen 3	Solución

Los números irracionales (conclusión)

Vamos a viajar al siglo V a.C., a la antigua Grecia. En ella existía un grupo de matemáticos/filósofos (entonces venían a ser lo mismo) que eran conocidos como los pitagóricos (no hace falta explicar de quién eran seguidores). Su principal creencia era que todo el Universo podía ser explicado con números y que todos los números podían formarse dividiendo el 1 en "trozos'" iguales y eligiendo algunos de esos trocitos. Traducido a nuestras matemáticas actuales equivale a pensar que cualquier número se puede poner en forma de fracción. Para algunos, los exactos y periódicos, sabemos hacerlo:

Pero, ¿es así para cualquier número? ¿cualquier número puede ponerse en forma de fracción?

Como hemos dicho, los griegos pensaban que sí, hasta que uno de ellos, Hipaso de Metaponto, aplicó el Teorema de Pitágoras a un triángulo como el de la derecha y se preguntó, ¿cuál será la fracción que vale raíz cuadrada de 2?

Como Hipaso manejaba perfectamente el Teorema Fundamental de la Aritmética (¡sí, el de los números primos haciendo de ladrillos!), no le costó mucho deducir, para su sorpresa, que no había ninguna fracción cuyo valor fuese raíz de 2. No es difícil razonarlo aunque es abstracto y os cuesta entenderlo. Os enlazo un vídeo con la demostración y si saco un rato os contaré en clase una versión que se entiende mejor a ver si alguno la pilláis.

Demostración de la irracionalidad de raíz de 2

Este descubrimiento provocó un verdadero sunami en la escuela pitagórica. Cuenta la leyenda que sus compañeros lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe, aunque en realidad parece ser que lo que hicieron fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.

En la actualidad sabemos que sólo los números decimales exactos (que tienen un número finito de cifras decimales) y los números decimales periódicos (aquellos en los que hay un bloque que se repite continuamente) se pueden escribir en forma de fracción (los llamamos números racionales). Los que tienen infinitas cifras decimales sin periodo son los números irracionales (¡el nombre lo dice todo!) y raíz de 2 tiene el honor de haber sido el primero que descubrimos gracias a Hipaso, que se ganó la inmortalidad.

Vamos a responder a algunas preguntas que pueden venirnos a la cabeza:

¿Cuántas cifras decimales tiene raíz de 2? Infinitas porque es irracional. Además no hay ningún bloque que se repita periódicamente.

¿Cómo podemos conocer sus cifras decimales? En este caso sólo hay una manera, calculándolas. Es una tarea muy pesada que se hace con ordenadores. En el futuro os explicaré algunas técnicas. Le he pedido a ChatGPT que me calcule unas cuantas más de las que aparecen en  nuestras calculadoras (1'414213562...) y aquí tenéis el resultado:

Cifras decimales de raíz de 2

¿Sirve para algo calcular tantas cifras decimales? Para nada. En cualquier situación real  en la que se necesite hacer cálculos con raíz de 2 (construir una casa, lanzar un satélite, fabricar un coche...), con conocer unas pocas cifras decimales sobra.

¿Por qué se calculan entonces tantas cifras decimales? Es una especie de competición "deportiva" de matemáticos e informáticos para demostrar la potencia de sus técnicas y sus superordenadores.

Vamos, que hay por ahí matemáticos perdiendo el tiempo. No del todo. Las técnicas que se desarrollan para calcular los decimales pueden tener aplicaciones prácticas en otros campos.

Una última pregunta: entonces, ¿los números irracionales son aquellos de los que no sabemos cómo van sus cifras decimales? No. Son aquellos que tienen infinitas y no hay bloques (periodos) que se repiten, pero sí que pueden seguir patrones. Por ejemplo, son números irracionales:

0'12345678910111213141516... ¿cómo sigue?

0'010010001000010000010000001... ¿cómo sigue?

Otra, otra: ¿cuántos números racionales hay? ¿e irracionales? Hay infinitos de los dos tipos... pero... y eso ya son matemáticas un poco más serias... ¡¡hay más números irracionales que racionales!!

¡La última de verdad! Y aparte de los racionales y los irracionales, ¿hay más números?

¿A que quedaría bonito como póster en vuestra habitación?

Los números irracionales (1ª parte)

Cuenta la leyenda que una persona murió (¿asesinada?) por estropearles a los griegos el siguiente juego. Os explico las reglas y hacemos una encuesta.

Supongamos que tenemos un palito de longitud 1 (da igual la unidad, metro si queréis). Con ese palito podemos hacer dos cosas:

1) Podemos partirlo en trozos, con la única condición de que sean todos iguales.

2) Podemos coger algunos trozos de los anteriores (cuantos queramos: ninguno, unos pocos, muchos, o todos) y volverlos a pegar.

Ahora nos preguntan si, cogiendo un palito y siguiendo esas dos reglas, podemos formar palitos que midan exactamente cualquier longitud que nos digan entre 0 y 1. Vamos a hacer algunos ejemplos:

¿Podemos formar un palito que mida 0’3? Pues sí:

¿Podemos formar un palito que mida 0’13? Sí, con una idea parecida:

Si habéis pillado la idea deberíais contestar fácilmente a las dos primeras preguntas:

Pregunta 1: ¿Podemos formar un palito que mida 0’541? (Y en realidad, cualquier longitud con tres cifras decimales).

Pregunta 2: ¿Podemos formar un palito que mida 0’7713? (Y en realidad, cualquier longitud con cuatro cifras decimales).

Pero también podemos formar longitudes con infinitas cifras decimales, por ejemplo, ¿podemos formar un palito de longitud 0'6666666666666...? Fácilmente, si recordamos que ese número escrito en forma de fracción es dos tercios:

Pregunta 3: ¿Podemos formar un palito que mida 0'2222222222...? (¡Pasadlo a fracción!).

¡Nota importante! En Matemáticas contestar no es decir Sí o No, es, aparte de eso, justificar la respuesta. En los tres casos si es que sí (y ya os digo yo que es que sí), ¿cómo conseguís un palito con cada longitud que nos piden?

Aquí llega la encuesta (os va a pedir una dirección de correo para identificaros):

Haz clic para votar en la encuesta

Los que contestéis a la encuesta y a las tres preguntas (me lo entregáis en papel en clase hasta el miércoles)  (para identificaros os va a pedir una dirección de correo electrónico), participaréis en el sorteo de una calculadora.

Examen del Tema 1. Números enteros y divisibilidad

Los exámenes son una herramienta de estudio. Ahora mismo, más que la nota, me interesa que cuanto antes le deis un repaso (como muy tarde este fin de semana), sobre todo a lo que hayáis hecho mal o no hayáis intentado.

Examen

Solución

Material del Tema 2. Números reales

En este tema empezaremos repasando cosas que vimos en 1º y luego llegará alguna novedad. Y reviviremos uno de los momentos más importantes de la historia de las matemáticas (¡con asesinato incluido!). 

El índice será:

1) Números racionales (fracciones).

2) Números reales.

3) Operaciones con fracciones.

4) Estudio del error. (Este apartado lo explicaremos con el ejercicio de la mandarina).

5) Problemas con fracciones: básicos y de la "suma" y el "producto".

Utilizaremos el siguiente material:

T02_01_Hoja de ejercicios

T02_02_Soluciones problemas con fracciones

T02_03_Repaso de operaciones con fracciones

T02_04_Ejercicios de exámenes